4.1 交互图形系统和数控机床的诞生
1946年研制成功的第一台电子计算机ENIAC是以数值运算为目的，而将计算机应用于生成图形和精密加工要滞后一段时间。1950年，美国麻省理工学院（简称MIT）在旋风Ⅰ型计算机显示器上生成了简单图形，接着又参与了美国国防部战术防空系统SAGE的研制。为了保护美国本土不受敌方远程轰炸机携带核弹的突然侵袭，设想在美国各地布置一百多个雷达站，将监测到的敌机进袭航迹用通信网迅速传送到空军总部。空军指挥员从总部的计算机显示器上跟踪敌机的行踪，命令就近军分区进行拦袭。SAGE系统有很多公司参与开发，整个技术方案由MIT林肯实验室负责制定，于1957年投入试运行。当时使用的显示器是19英寸阴极射线管，即在大屏幕真空管中用加热的灯丝发射电子束，经过聚焦和加速，轰击屏幕上的荧光粉涂层，产生亮点。用两对偏转线圈分别控制电子束沿水平和垂直方向的偏移。将需要在屏幕上显示的飞机航迹各点坐标通过显示处理器转换成两对偏转线圈的控制电压，就可以精确制导电子束在屏幕上的落点位置，画出航迹线。当时还设计了一种人机交互工具，称作光笔。用手握住光笔对准屏幕上的某一显示线条或标注的字符，光信号脉冲进入笔端镜头，通过光导纤维束传向主机，发出中断申请，同时冻结显示处理器中对应光点在屏幕上的坐标位置，就可以进一步查询屏幕上某一显示对象的其他信息或向计算机输送指令。这种交互操作方式很像我们现在使用鼠标器来选择菜单和拾取图形。SAGE计划并未完全实施，到了60年代中期就下马了，但是它的研究成果却在民用工业中得到发扬，导致传统的工程设计绘图方法发生了革命性变化。
将SAGE计划中的光笔交互图形技术应用到工程绘图中来，要归功于伊凡.萨瑟兰德 （Ivan E. Sutherland）。
他在MIT进一步完善了光笔系统，并于1963年完成了题为”Sketchpad:人机图形通信系统“的博士论文，提出了使用键盘和光笔在计算机屏幕上进行交互设计绘图的一系列操作技术，以及将图形分解为子图和图元的层次数据结构，为60年代中至70年代末计算机辅助绘图技术的大发展奠定了原型示范基础。1964年秋IBM公司着手开发交互图形终端的第一代产品IBM2250，采用刷新式随机扫描原理，用光笔作为交互输入手段，并且配有一组32个功能键，以便执行画直线、圆弧、虚线、标注尺寸、提取子图等宏命令。IBM还与美国通用汽车公司合作，开发DAC-1计算机辅助设计系统。洛克希德飞机公司和麦克唐纳飞机公司也各自独立在IBM2250上开发二维绘图系统，前者称为CADAM，后者称为CADD。从60年代末起，逐渐在这些系统中增加曲线和曲面功能、数控加工编程功能等，形成了最早的计算机辅助设计、制造（简称CAD/CAM）系统。从1974年起CADAM正式作为商品向外界转让，成为70年代至80年代中期IBM主机上应用最广的第一代CAD/CAM软件产品。
我国西安交通大学于1975年研制了751型光笔图形显示器，1978年为751配置了基本软件。西北工业大学、上海飞机厂、贵州云马飞机厂、上海交通大学等在751系统上开展了我国最早的飞机框、肋装配夹具设计，曲面外形设计和加工，组合机床设计等应用尝试。
1968年萨瑟兰德又发表了”头戴式三维显示器”的经典论文,在头盔的封闭环境下利用计算机成像的左右视图匹配,生成立体视景,
使人犹如置身于计算机构筑的虚拟场景中。随后他与美国另一位计算机教授共同创建了Evans&Sutherland公司，以生产高性能的飞行模拟器为主要业务，用计算机实时产生飞行员驾驶训练中从模拟座舱里见到的机场起飞滑跑、空中盘旋和着陆等各种场景。他们也生产过以PS300为代表的高性能图形显示器。三维头盔式显示器的研制工作最早是在MIT
Draper实验室进行的，后来转去犹他（Utah）大学。萨瑟兰德为计算机图形技术的发展作出了卓越贡献。
还在SAGE 计划开始实施之前, MIT的伺服机构实验室里已在悄悄地开展另一项研究，日后激起了制造业发生新一轮技术革命。这就是用电子数字技术来控制加工机床，以满足当时飞机工业界希望自动精密加工各种曲线样板的迫切要求，替代繁重的手工锉修劳动。普通铣床的工作原理是用手工转动螺旋丝杠，带动工作台移动。一对相互正交的丝杠组成x-
y坐标系，协同转动x、y丝杆就使固定在工作台上的工件被绕z轴旋转的铣刀铣出平面曲线轮廓。图4.1是用平头圆柱铣刀在平板上铣出凹陷区的加工走刀轨迹。数控铣床则是将手工操作改为接受数字指令，例如沿直线走刀，可以输入一条命令
G01 X20000 Y35000 CR
其中G01表示走直线，X和Y后面的一串数字表示直线终点的绝对坐标值，单位是脉冲当量。CR是回车符，标志一条指令结束。如果机床的精确度要求很高，脉冲当量可以作成0.001毫米/脉冲
。这样，上述指令就表示铣刀从当前所在位置移动到（20.000, 35.000）毫米终点位置。 其他指令还有下刀、抬刀、走圆弧,
以及规定铣刀转速、走刀速度、通冷却液等等。当数字指令输入到机床的控制装置后，运算器计算刀具从起点到终点所走过的每一中间点坐标值，再由输出控制器将对应的脉冲数同步分配给x向和y向传动丝杠的驱动电机。后者称作步进电机，按照接受的脉冲数使轴旋转相应的角度。换句话说，输出控制器所发送的脉冲信息的数量和频率最终决定了机床对应构件的移动距离和速度。在上面的例子里，一个脉冲使机床工作台或铣刀行走0.001毫米。数控机床的传动和导向元件都必须精密加工和配合，不允许存在丝毫游隙。1952年在MIT诞生了第一台数控铣床原型系统，1957年美国空军将第一批三坐标数控铣床装备了飞机工厂。大型精密数控绘图机也同时诞生。
数控铣床的坐标数表示控制装置所能同步驱动的传动丝杠数。三坐标铣床是指x 、y、z三个方向联动，相当于当工作台在x-y平面内沿特定的轨迹线移动时，铣刀还能同步升降，因此可以加工出三维的曲面形体。四、五坐标铣床是除了x、y、z三个方向的直线运动外，再加上铣刀或工件绕x、y、z中某一个或两个轴线摆动或旋转。如图4.2中的零件内腔有变坡度的腔壁，要求铣刀在加工中跟随壁面坡度摆动。飞机和航空发动机的复杂结构件、船用螺旋桨、泵类叶轮等都是四、五坐标加工的典型例子。
有了数控机床和绘图机后，编程软件的开发就成了下一个关键。用手工逐条书写机床操作指令，就像用机器指令或汇编语言编写计算机程序，不但费力而且容易出错。于是，MIT与美国各飞机公司合作，研制了数控加工自动编程工具APT语言。以后几经大的修改、充实，从APTII发展到APTIII,APTIV
以及APTSS。 SS是雕塑曲面（sculptured surface）的缩写，专用于加工飞机、汽车等模具、零件的不规则曲面外形。APT语言的技术抓总单位在50年代末设在MIT，60年代初转到伊里诺(Illinois)大学，70年代初又转到国际计算机辅助制造协会CAM-I。世界各国还发展了各有特色和专业性更强的APT衍生语言。我国机械工业部自动化研究所和航空工艺研究院以及飞机工厂等先后开发了PCL、SKC-1、SKC-2、SKC-3、CAM-251、飞龙79、飞龙81、C-SURF、B-SURF、
AD80、NC87、APT/X、APT/GI、CAMS、CADS等加工编程和曲面造型/加工系统，完成了多种飞机型号的全机外形定义和关键零件加工。
4.2 曲面构造方法的新突破
将光笔图形显示器和数控绘图机、数控机床应用于设计和加工规则形状的产品时，现有的三角、代数等数学工具已经足以应付编程中的算法设计需要了。直线、圆、圆柱面、圆锥面和球面等的计算方法都已经相对定型。而对于飞机、汽车、船舶、叶轮等的流线曲面，恰好是最能体现CAD/CAM技术优越性的领域，当时还缺乏一种新的数学表达工具，以便从更本上改变当前生产中普遍采用的利用模线、样板、主模型、标准样件等一整套物理模型来保证曲面外形准确度和相关零部件装配协调性的手工操作。为了充分说明工业界对于这种需求的迫切性，我们先来简略回顾一下，什么是传统的生产方法。
4.2.1模线样板标准样件工作法
以飞机制造为例，用小比例尺绘制设计图纸只能粗略决定飞机的外形轮廓线和重要的剖面线，这些曲线必须以实际尺寸画到由大张铝板拼成的桌面上。用长方形剖面的扁木条或塑料条光滑拟合这些曲线，并用压铁每隔一段距离压住样条，不使移动，然后用刻刀将样条曲线刻画到铝板上，成为飞机外形的最终标准依据，称作模线。模线只允许绘制一套，对称的机身外形只画一半，另一半靠用样板锉出准确形状后复制过去。有了飞机外形的完整理论模线后，再在外形轮廓内绘制飞机的内部结构，称作结构模线。按照结构模线锉出样板以供生产零件使用。样板的品种很多，提供外形、内形、切面等标准依据，以便制造各种工艺装备，即成型模、加工夹具、检验夹具、装配夹具和型架等。图4.3是成都飞机公司为美国麦道公司所生产的MD-80/90大型客机的机头结构轴线图。它的外廓尺寸是4877′3290′3487毫米,分为上下两部分。1：1精确绘制的结构图就是结构模线。机头共有4，500项零件，制造工作量占整架飞机的7%。生产中需要使用工艺装备3，000余项，其中装配用工艺装备占500项。
用来制造和检验工艺装备的模线、样板、主模型、标准样件等称作标准工艺装备。图4 .4是机翼装配型架的示意图，其中接头定位件用来保证机翼与机身和副翼的连接点安装在准确位置；卡板用来检查机翼外形形状，同时也保证机翼外形和接头有准确的相对关系。型架上的卡板和接头定位件靠标准样件来安装。图4.5是机翼标准样件的示意图，采用刚性桁架结构，带有主要结构件--梁和肋的外形以及接头。机翼前缘向外伸出的两个支架称作标高板，是将标准样件安装到型架里的定位基准。
图4.6是飞机舱门的标准样件及其检验架（称作反标准样件），目的在于保证舱门的铰接点和锁销位置安装准确。舱门要能灵活开、闭，而在关闭后舱门外形要与机身紧密贴合，保证密封。图中的L.O.S是视线（Line
of sight）的缩写，表示用光学仪器来校正正反标准样件之间的定位关系，正反样件上的四个对应孔应严格落在同一条准直线上。
图4.7表示一种小型飞机的局部标准样件和量规配置状况。量规专门用来协调连接接头之间的配合关系。图4.8是机翼壁板的自动铆接调平托架，供铆接机翼蒙皮与长桁加强条之间的铆钉时将机翼铆接部位调整在水平位置。压铆机是一个固定机座，上面安装了一个压铆头，沿x方向在机座上左右移动，每次只铆一个铆钉。机翼壁板安放在托架上，用卡板夹紧。托架在滑轨上沿y方向前后移动。调平托架与压铆头在工作中需要五坐标联动，这就是x-y-z三个方向的平移和绕x、y轴的转动，才能保证每个铆钉的轴线都是严格垂直于机翼蒙皮外形，或者说，每个铆钉的轴线都能保证与机翼蒙皮的局部法向量重合。这是为了确保每个铆钉的铆接质量所必需的。无需解释，压铆托架也是用样板或标准样件加工、检验的。
标准工艺装备中还有一类表面标准样件，这是用硬木或可塑树脂制造的1：1飞机局部外形，用来翻制蒙皮的成形模。在汽车工业里往往制作1：1的整车外形模型，叫做主模型，也是用来翻制外表面板金件（称作覆盖件）冲压模的型面。
看了上面的简单介绍后，我们再来总结一下，这种建立在模线、样板、标准样件之上的生产方法有哪些缺点？
第一是生产周期长。因为标准工艺装备必须从模线定型开始，一环扣一环的逐步投产。有了理论模线才能绘制结构模线，有了结构模线才能制造样板，有了成套样板才能启动制造表面标准样件和标准样件、反标准样件。机翼、机身、尾翼等所有样件、反样件、量规必须配套作对合检查。这是一个复杂而庞大的协调体系。因此一架新设计的飞机，从开始研制到投入稳定的成批生产，一般需要6至8
年时间。
第二是零部件之间的协调精度低。模线绘制以及样板和标准样件加工都是手工劳动，外形的复制环节多，误差积累大，导致部件铆接中经常使用垫片来消除缝隙。美国汽车制造业先是在80年代提出“5毫米工程”，力求提高车身冲压件的制造质量，使装配中的最大缝隙从原来的十多毫米降低为5毫米以内。90年代后又提出“2毫米工程”和“亚毫米工程”(near
zero stamping), 已获得成功，并在汽车工业推广应用这些新的技术措施。只有从根本上改变原来的外形协调体系，全面推行产品数字化定义和数控技术，才有可能达到这些零间隙配合的目标。
第三是设计差错多，改型困难。 传统的设计绘图技术很难表达三维空间的几何关系。新机型研制中要用木料搭出模拟真实飞机的样机来布置驾驶员座舱内的仪表和操纵系统，
铺设机身内的电缆、管道等。即使这样，图纸中的设计差错仍难以避免，经常发生尺寸不协调，零件、组合件相互干涉等。刚性的工艺装备结构和刚性的协调体系不利于飞机进行改型，而一种成功的飞机型号，必然会有多种衍生的改型机种，由此更加加重了生产组织、管理上的困难。
另外，全部生产工装占用了大量生产面积，而且很笨重，搬运和使用起来都很费力。一个飞机工厂一般都同时有两三个以上型号在生产，增加了仓库保管和使用周转中的负担。
4.2.2 曲面表达方法的历史探索
早在二次世界大战期间，为了适应大批量生产战斗机的需要，国外飞机制造厂设计了一种用二次代数曲面构造飞机机身外形的方法。一般形式的三元二次代数方程可以写成
其中包含了9个独立系数。这些系数的几何含义很难解释清楚，曲面形状无法显式控制，也不便于局部修改，所以后来发展了一种更直观的作图方法。如图4.9（a）所示，首先构造二次曲线段。曲线AEC的首末点通过三角形ABC的底边端点，并与三角形的其他两边相切。
D是底边的中点，曲线的拱高用肩点E通过f值控制：
已知两点、两斜和f值5个条件，就可以写出二次曲线的代数方程来。然后用分段二次曲线逼近光滑曲线。图4.9(b)中虚线表示已知曲线q，两段二次曲线的B1C1和B2C2边共线，因此两段曲线光滑连接。图4.9(c)中已知一张待定曲面的4条边界线A1E1C1、A2E2C2、A1A2和C1C2。给定的横切面线A1E1C1和A2E2C2假设都是一段二次曲线，纵向边界线A1A2和C1C2
，以及肩点E1和E2之间的f值变化曲线都可以用一段或多段二次曲线逼近。这样，用任意平面平行于两端边界面切割这张曲面，得到的切面线也是一条二次曲线，它的起点、肩点和终点都可以用平面方程与A1A2、E1E2、C1C2
三条纵向线求交得到，因此新切面线的曲线方程是已知的。依此类推，用任意平面斜切这张曲面，同样可以求得交线上的每一点的坐标值，只是算法很繁。因为这时每求一个交点，首先要通过这个交点作一平行于端面的辅助切面，再用这个辅助切面的二次曲线外形与斜切面求交，逐点求出斜切面的外形来。从二次世界大战中后期到50年代末，飞机工厂就是用这种方法建立飞机的数学模型来提高外形设计和模线绘制的的精度和效率。当时只有手摇计算器，整个计算方法很繁，通用性很差，因此还需要寻求更灵活简洁的曲面表达形式。
1946年美国数学家舍恩伯格（I. J. Schoenberg）首次提出了样条函数的思想，用分段函数来拟合给定的一组数据点，函数段间保持高阶连续。1947年，他提出了B样条的一般理论。他的杰出工作为现代样条函数的理论与方法奠定了基础。
我国70年代初以苏步青先生为代表，深入船厂开展数学放样和曲线光顺的应用研究，以中国科技大学常庚哲先生和北京航空学院熊振翔先生为代表，深入飞机工厂从事飞机外形曲面的数学模型建立。当时先仿照绘制模线中使用的扁木条加压铁的弹性梁弯曲力学模型，写出代数方程并作合理简化，形成三次函数样条曲线。以后在使用中发现函数样条曲线存在一些问题，例如同样一组型值点，如果对型值点的坐标系施加不同的旋转变换，拟合出来的曲线形状会有所不同；又如用它拟合螺旋线，它不能处理同一个（x,
y）值的点对应有多个不同z值解的情况。因此后来改用参数形式的曲线表达式，例如从P0到P1点作一条直线，写成参数形式的矢量方程是
其中参数u的有效区间是[0，1]。当u=0时，P(0)=P0 ；u=1时，P(1)=P1。
1963年美国弗格森（J. C. Ferguson）在波音公司进行飞机外形构造中首先使用了参数三次曲线和曲面。如图4.10所示，在每两相邻型值点之间构造一段三次曲线，写作
这种表达形式是由埃尔米特（Hermite）在定义样条函数时提出的，具有通用意义。这就是在式（4.2.3）中，每次只有一个混合函数为1，其余三个都为零，因此一定满足给定的插值条件。当参数u介于0与1之间取任意值时，四个混合函数联合发挥作用，使得整段曲线在插值点之间形成光滑的过渡形状。这也是混合函数（blending
function）得名的由来。
曲线首末端的矢量大小影响曲线的形状，图4.11 和4.12反映了切矢变化对曲线形状的影响。切矢越大，曲线越丰满，以后出现尖点和打圈，成了病态。由此可见，当用多个弗格森曲线段逼近一条自由曲线，类似于图4.9(b)的作法时，应使插值点，即每两相邻曲线段的分界点分布得比较均匀。这样，整条组合曲线才能比较光滑，否则相邻插值点距离很近的曲线段会局部鼓起，破坏了整条曲线的光顺性。
弗格森曲线可以依照图4.9(c)的思想，简单地扩展到双参数曲面。这时将式（4.2.1）中的四个矢量系数a0,
a1, a2, a3,取为第二个参数w的函数，表示a0等沿w方向都在不断发生变化。将它们的变化规律同样写成参数三次形式
当参数w从0递增到1时，曲线P（u, w）沿w方向扫成一张曲面，见图4.13。于是曲面方程可以写成
式中有16个待定矢量系数，需要指定曲面片边界的16个已知条件。最简单的一种方法是给出曲面片四个角点的位置、切矢和扭矢，即P（0，0），Pu(0,0),
Pw(0,0),和Puw(0,0)等。切矢是边界曲线在角点的一阶偏导，即
；扭矢是曲面在角点的二阶混合偏导
，反映边界的u向切矢沿w向的变化率或w向切矢沿u向的变化率 。由于扭矢的概念很不直观，很难人为设定，所以在弗格森曲面中省略不计，赋为零值。于是，采用埃尔米特插值形式，并且将P（0，0）简化写作00等，可以将弗格森曲面表示如下
式U，M，B等同于前面式（4.2.5），W=[w3
w2 w 1]。弗格森曲面在波音公司得到了实际应用。当飞机外形曲面建立起数学模型后，从曲面方程计算出一大批相对密集的点阵存储在计算机里。因为型值点很密，每两相邻点间连成直线，就可以足够精确地绘制出曲面的外形轮廓线；每簇相距最近的三个点连成小三角平面，就可以直接用来计算铣刀的进刀位置。这就是以牺牲存储空间为代价来简化绘图和加工算法。当时还用弗格森曲面研制了一个曲面加工软件FMILL，用来生成曲面铣切加工的走刀轨迹。
对于CAD技术中的曲线曲面理论及其应用研究这样一个学科分支，我国一开始称作“计算几何”，后来由于国外将“计算几何”约定为研究几何算法的复杂度，即分析比较各种几何计算方法的时间复杂度和占用计算机存储量的空间复杂度，以便从中寻求最优解，所以国内也就跟随国际习惯改称为“计算机辅助几何设计“，简称CAGD。
1974年3月在美国盐湖城犹他大学召开了第一届CAGD国际盛会。大会主题是“图形学与数学”，共约120人参加，集中展示了计算机图形学的最新研究、开发、应用成果[1]。建立在犹他城的Evans&Sutherland公司也展出了他们的高档计算机图形显示器产品。这次大会发言中，被引用最多的开拓性研究成果有两方面，即孔斯曲面和贝齐埃曲线。大会公认孔斯（Steven
A. Coons）和贝齐埃（Pierre Bézier）在CAGD中起了奠基性作用。
孔斯原来在MIT机械系执教，从事工程制图和画法几何的教学、研究工作。在很多飞机公司参与过飞机外形设计和曲面构造的工程实践，积累了8年经验。1964年他在MIT发表了“空间图形（Space
figure）CAD曲面”的研究报告，提出了构造曲面的几种方法，引起了国际学术界的重视。1967年英国飞机公司用孔斯方法来描述机翼、机身、螺旋桨的外形，开发出称为NMG（数值主几何）的曲面造型软件，以后这套软件经过扩展后还应用于英国当时的船舰设计。美国麦克唐纳飞机公司将孔斯方法纳入到他们开发的“计算机辅助设计与绘图”CADD系统中，不断充实曲线曲面操作功能，并逐步广泛应用于F15战斗机的研制和生产。1967年孔斯发表另一篇题为“空间形状（Space
form）CAD曲面”的报告，发展了1964年的研究成果。此后，关于这一方法的应用和推广，陆续出现了大量的文献。从数学上看，孔斯曲面属于二维样条方法，它的基本内容已被收入计算数学的入门书和样条函数的专门著作中，也被不少学者从数学上作了更深一层的研究和推广。
混合函数F0，F1，G0，G1，及其推广形式在孔斯曲面的生成和表示中起着重要的作用。它们的功能是将给定的两个端点及其切矢，必要时还可以加上曲率矢，加权平均而产生一个曲线段。也可以将四条给定的边界曲线混合起来生成一张曲面片，而且保证曲面片的边界与四周相邻曲面片光滑连接，不但可以作到跨边界的斜率处处连续，也可以使得跨边界曲率处处连续。所以孔斯方法被称为超限插值（transfinite
interpolation），而F0，F1等混合函数也被称作权函数或调配函数。
我们沿用孔斯创造的一套表示参数曲线、曲面的简洁符号，例如将参数曲面片P（u,w）记作uw；曲面片的四条边界曲线P（0,w），P（1,w），P（u,0）和P（u,1）记作0w,
1w, u0, 和u1；混合函数F0（u）等记作F0u; 边界曲线u0跨界切矢
记作u0w ,见图4.14。
现在我们来构造一张曲面片F（u w），它不但插值于四条给定边界曲线u0，u1，0w,1w，而且还插值于这四条边界的跨界斜率。这要分两步走，先作一张曲面片，使它以0w，1w为边界，并以0wu与1wu为这两边界上的跨界斜率，曲面片的方程显然可以写作
 （4.2.8）
这一结果可以通过简单的计算而直接验证。同样地，曲面片可以作成以u0，u1为一对边界，且以u0w与u1w 为相应的跨界斜率
 （4.2.9）
现在将式(4.2.8)与式(4.2.9)叠加，其中的四个角点及其切矢、扭矢都重复出现了两次，因此必须将重复项删去。这样，曲面P（u,w）的正确表达式应当是
 （4.2.10）
这种曲面的构造方法是将u向混合曲面与w向混合曲面相加，因此又被称作布尔和曲面。布尔运算是一种逻辑运算，例如设定有真假两种可能，令真=1，假=0，则1+1=1，1+0=1，0+0=0。这里所强调的是1+1=1，即当两张曲面片具有重叠部分时，只取重叠区的一张曲面片。
式(4.2.10)中的混合函数是三次多项式，前面已经推导过，结果见式(4.2.6)。这时两两拼合的相邻曲面片可以作到斜率连续。如果进一步要求曲率连续，就要在F0,
F1, G0, G1,四对混合函数之外再增加一对H0, H1，用来对跨界曲率进行插值和调配。参数方程P（u
，w）相应要提升为五次多项式，而在给定的角点矩阵中将会出现00uu,00uuw ,00uuww 等元素。这时如果要求人为指定每张曲面片的边界条件，这显然不胜其烦，而且事实上也无法做到。因此在CAD应用中，式(4.2.10)实际上并未得到推广。真正在生产中广泛应用的，是带非零扭矢项的式(4.2.7)弗格森曲面。其中的切矢和扭矢都是通过样条方程自动求解。孔斯的最大贡献在于给出了一种确保任意高阶边界连续的超限插值思想。用到的混合函数并不局限于埃尔米特三次多项式。凡是满足式(4.2.3)的适当次数的连续函数都可以作为混合函数。孔斯本人曾经选用过三角函数和B样条函数来构造混合函数。孔斯方法对于发展数学理论和解决某些工程问题都有重要的学术意义和独特的应用价值。
4.3 神奇的贝齐埃曲线
贝齐埃（1910-2000）23岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。他在50岁时开始研究几何化的曲面构造方法，独自开拓了一条全新的道路，用多边形的顶点来定义自由曲线。就像有些画家在素描人像时先用折线勾画脸部和身材的大致轮廓，再逐渐修正线条，贝齐埃完全用折线来精确定义一条曲线。前面我们已经提到，用两点V0，V1作直线的参数方程为
P（u）=(1-u) V0 +u V1
=  （4.3.1）
这就是一次贝齐埃曲线。
对照图4.9(a)，贝齐埃二次曲线直接用三角形ABC的三个顶点确定曲线形状，挪动顶点B就可以改变曲线的丰满度，不必使用f值。如果将三角形的三个顶点写成更通用的V0，V1
，V2，二次曲线的表达式就成为
 （4.3.2）
对比式(4.3.1)和(4.3.2)，不难发现顶点前面的系数很像二项式定理(a+b)n 的展开项。于是我们可以立刻写下贝齐埃三次曲线的方程
 （4.3.3）
这种表达式非常简洁直观，中间系数矩阵的前面几行、几列相加都为零，只剩最后一行、一列相加为1。人们不禁要问当初贝齐埃是怎样想出这种表达形式来的？这种表达式除了简单之外，还有什么其他特点？
贝埃齐本人并未在自己的著作中对他所创造的曲线曲面定义方法给出具体数学推导，只是宏观解释他要加快汽车身设计及其工装制造的周期，提高曲面的准确性和光顺性；所用的曲面表达形式应该使原来熟悉画法几何的车身设计人员不必再去补习数学分析和微积分；车身的曲面片数量应该最少；车身上的一些特征线，如图4.15所示，应该取作曲面片的边界。此外，从多边形生成的曲线必须通过多边形的首末点，而且与第一条边和最末一条边相切；它的首末端曲率（对应于二阶导数）只取决于最前和最后两条边；曲线的端点挠率（对应于三阶导数）只取决于首末三条边，而与其他边无关；更高阶的导数可以依此类推，只是它们的几何意义将变得越来越抽象；最后一点，曲线表达式应该具有对称性，即控制多边形顶点的排序方向不应影响曲线方程的表达结果，即将V0
作为首点，Vn作为末点和将Vn作为首点，V0作为末点，得到的曲线方程都应该一样。
具体推导公式时，贝齐埃将曲线的特征多边形表示为首尾相连的矢量，见图4.16。这相当于除了第一个顶点V0 采用绝对坐标，即以坐标系原点为起点外，其他顶点都采用相对坐标，或称增量坐标，取前一矢量的末点作为坐标系原点。于是，贝齐埃在1962年得到了下列形式的曲线方程。
 （4.3.4）
式中n是特征多边形的边数，fi, n称作贝齐埃基函数，i表示基函数的序号，n是基函数的次数。具体结果如下
 (4.3.5)
基函数的这种表达形式很复杂，日本CAGD界的前辈穗坂（M. Hosaka）教授说它好像是从天上掉下来的。十年后，到了1972年，英国福累斯特（A.
R. Forrest）将多边形的顶点改为统一用绝对坐标表示，立刻就简化了数学方程，得到了当前一致采用的贝齐埃曲线表达式
 （4.3.6）
Bi, n (u)是函数逼近论中早已知名的伯恩斯坦（Bernstein）基函数，是[0，1]区间的n次多项式。n次伯恩斯坦基函数共有n+1个，与多边形的控制顶点数相等，所以每个基函数分别作用于一个顶点，在[0，1]区间内将各个顶点所连成的折线多边形调配成一条光滑曲线，见图4.17。贝齐埃曲线是一条整体曲线，它的次数等于控制顶点数减1。所以15个顶点产生一条14次贝齐埃曲线。次数越高，曲线越光滑，但是它离开控制多边形越远，越难从多边形的形状来预测曲线形状。
伯恩斯坦基函数具有递推关系，高次基函数由低一次的两个基函数叠加得到：
 （4.3.7）
其中 .
在函数逼近论中，伯恩斯坦基函数是作为一种通用工具，通过运用某些已经给定的信息，将某个已知或未知的复杂函数f(u)表示为较简单的函数P(u)，使得二者在某种意义下的偏差满足一定的要求。设想已知函数f(u)在[0，1]区间的n+1个等分离散值，用这些值作为插值点代入(4.3.6)式，当n→∞时，P(u)一致收敛于f(u)。但是这种收敛速度很慢，所以它长期没有受到应用界的重视。贝齐埃却用自己独特的方法再现了伯恩斯坦基函数，充分发扬了它的长处，为贝齐埃曲线带来很多异常简洁的优异性质。我们择要说明如下：
1）贝齐埃曲线有很强的保凸能力，它的拐点数（曲线由凸变凹的转折次数）一定少于控制多边形的拐点数；
2）曲线可以递归分割。如图4.18所示，任取一个参数值，按照u: (1-u)的比例分割原始多边形V0
V1 V2 V3
的每一条边，得到第一次分割后的新顶点V￠0 V￠1
V￠2 。新顶点的位置为
 (4.3.8)
用相同的方法再次分割新边V01 V11
V21 ，可以得到两个新顶点  。新顶点的上标表示分割的次数。再分割一次新边  ，最终得到点  ，这个点就是原始多边形所定义的贝齐埃曲线上与参数u相对应的点，而
 就是贝齐埃曲线上过  的切线。利用这种方法，可以用尺规根据给定的控制多边形来逐点绘制贝齐埃曲线。用数学语言来表达，就是一个任意高阶的函数，可以用一系列线性运算来求它的值。与此同时，  点将原始定义的贝齐埃曲线分割成两段子曲线，第一段的控制多边形是  ，第二段是  。这两段子曲线与原始曲线是完全等价的，但是它们与各自的控制多边形却
贴近多了。我们可以利用这种方法来求两条贝齐埃曲线的交点。这时取u=1/2，同时对分两条曲线。为每段子曲线作一最小矩形包围框，两两判断子曲线的包围框是否相交。包围框不相交的子曲线段不可能相交，可以舍去。继续分割剩下的子曲线。几次递归分割后，剩下的子曲线段已经很短，可以直接作为直线段来求解交点。这是用线性运算来联立求解两个n次方程。
事后发现，法国雪铁龙汽车厂的德卡斯特里奥（de Casteljau）在1959和1963年的厂内技术报告中已经独立提出了式(4.3.8)形式的递归分割公式，并可用它来计算贝齐埃曲线的各阶导数。所以后来的文献中将式(4.3.8)的一般形式称作德卡斯特里奥算法，以此恢复历史的真实。
3）从式(4.3.4)可以得到  ，说明贝齐埃曲线的端点切矢与首末边重合，模是首末边长的n倍。对于三次贝齐埃曲线，切矢模是边长的三倍。对照图4.11和4.12，类似的曲线形状都可以通过移动贝齐埃曲线中间两个控制顶点的位置来得到。贝齐埃曲线的二阶导数是  ）.
4）贝齐埃曲线可以在保持形状不变的前提下，用递归算法来增加控制顶点的数量，同时提高曲线的幂次，称为升阶。一次升阶后的新顶点用下式计算：
 (4.3.9)
图4.19说明一条二次贝齐埃曲线升阶到三次后，原来的一个中间顶点V1变成Q1 和Q2两个顶点，  ，曲线的首末点不变。曲线升阶后，可以利用新增的顶点来局部修改曲线形状而保持两端边界条件不变，不至于影响它与其他曲线段的光滑连接。
5）贝齐埃曲线可以直接扩展成贝齐埃曲面
（4.3.10）
双三次贝齐埃曲面共有16个控制顶点，见图4.20。式（4.3.11）是16个控制顶点的矩阵表示：
（4.3.11）
与式（4.2.7）弗格森曲面中的角点信息矩阵对照，上式中的A，B，C，D对应于四个角点点矢；SAB，SBA等用来控制曲面片边界的斜率；最中间的四个顶点TA，TB，TC，TD用来控制扭矢。当中间顶点，例如TA与角点A和SAB，SAD构成平行四边形时，角点A处的扭矢为零，使得曲面片局部变得平坦，降低了它的光顺性。这样，贝齐埃曲面表达式非常直观地解释了孔斯曲面片中跨界斜率和扭矢的几何意义及其控制方法，使得汽车车身设计师确实不必学习微积分也能通过控制顶点来交互微调曲面形状，并且进行相邻曲面片的光滑拼接。
在贝齐埃指导下，1962至1968年底雷诺汽车厂研制成功了UNISURF曲面造型和
SURFAPT数控加工原型系统，配置了一台数控绘图机和一台数控铣床，1972年起开始用于生产，两年内定义了四种车型的车身外形。
约从1977年起英国剑桥大学工程系用贝齐埃曲面研制了曲面设计加工系统DUCT。它的构形方法是先定义一条脊椎线（spine）。与脊椎线相垂直，定义各个剖面形状。灵活设计脊椎线布局，可以构造出很多复杂形状的汽车发动机排气管、涡轮泵壳体、香水瓶等。DUCT后来发展为商品系统，至今仍在CAD/CAM小型系统中占有一席之地。约从1974年起，法国达索飞机公司研制三维造型CATIA系统和Euclid公司发展CAD/CAM系统，都是使用贝齐埃曲面作为基本造型方法。
我国最早研究贝齐埃曲面的标志，是常庚哲与北航吴骏恒在1978年共同发表了科研报告“贝齐尔曲线曲面的数学基础及其计算”。施法中还于1980年独立推导了贝齐埃基函数。1982年3月吴骏恒等航空工业部四人小组应贝齐埃的邀请，在雷诺汽车厂参观访问了五天，受到了隆重、热情的接待。重点观看了厂内自己开发的UNISURF曲面造型，SURFAPT曲面加工和RA3D三维机械设计软件的演示，了解了大型冲压模从翻制石膏模，延拓工艺表面，数字化测量，建立UNISURF曲面模型，到数控铣切加工、测量机检验和模具试压的各个环节。图4.21是当时汽车车身的曲面片划分。图4.22是车身覆盖件的冲压件毛坯外形，曲面片分块很多。UNISURF用FORTRAN编写，个别部分用汇编语言，共投入10个主力，开发了5年。SURFAPT组内有7人，曲面的几何定义采用UNISURF格式。RA3D组也有7~8人。
贝齐埃曲面方法当然仍要不断发展和完善，它的主要不足处是曲面整体构造，不如样条曲面有更大的柔性。例如图4.22中的车身覆盖件，如果现在用B样条曲面来构造，估计会省力得多，不需要用一张一张小曲面片来拼合。同时，由于曲面方程是整体表达式，改动一个控制顶点位置，会牵连整个曲面片的形状发生变化，而且曲面偏离控制多面形较远，不利于预估曲面形状。到了1973年，里森费尔德（R. R. Riesenfeld）在犹太大学完成了题为“用B样条逼近CAD几何问题”的博士论文，从此将CAGD曲面造型方法提高到了更加完美的境界。
4.4
当代一统天下的B样条曲面
前面讨论的埃尔米特混合函数和伯恩斯坦基函数都是用来整体构造[0，1]区间的曲线段和曲面片。它们的作用范围被限制在[0，1]区间内，见图4.23和图4.24，而且三次函数只能控制曲线端点的斜率。要想控制边界曲率埃尔米特混合函数必须提高到5次，贝齐埃曲线也至少需要6个控制顶点，各用三个顶点来管辖每个端点处的曲率，所以也是5次方程。样条函数的优点在于它可以连续跨越多个区间，如图4.25所示。图中横坐标轴上的0，1，…i, i+1，……分割点称作节点（knot），分段的样条函数在节点上连接。节点序列必须非递减，即ui≤ui+1。整个节点序列称作节点矢量。图4.25中的节点均匀分布，因此称作均匀B样条。k次B样条被定义为由k+1段曲线组成，它在每一子区间（ui ,ui+1）内都是k次多项式，而整条曲线则是1，2，…k-1阶导数处处连续，简称Ck-1连续。如果从图4.25中单独取出一条B样条来分析，见图4.26，可以发现它本身是由4段曲线合成的，它们的表达式分别为
uÎ[0,1]
（4.4.1）
很容易验证上式中，在每两相邻曲线段的连接点上，左右两边函数的函数值、一阶导数和二阶导数都是相等的，所以三次B样条整体上构成C2连续。基于样条函数的这一特点，用它构造样条曲线，曲线的次数和连续阶只与所选用的基函数次数有关，而与所拟合的数据点点数无关。这就使得用它来构造复杂形状的曲线和曲面就很省力，不必再去操心各段曲线和各个曲面片之间的边界拼合问题，B样条基函数自动保证了中间节点上的光滑连接。
当用一组控制顶点来构造三次均匀B样条曲线时，每次用4个顶点来生成区间[ui
,ui+1]内的曲线段Pi（u）
（4.4.2）
上式中需要特别注意参与运算的B样条基函数和控制顶点的下标编号。对于u=[ui ,ui+1]段曲线，控制顶点列阵是自上而下从i递增到（i+3），而B样条基函数行阵则是自右向左从i递减到（i-3）。这要从对比图4.25和4.26中寻找答案。因为仔细观察图4.25，可见在[ui
,ui+1]区间内，共有4条B样条在起作用，这就是Bi-3,3的B0,3（u）段，Bi-2,3的B1,3（u）段，Bi-1,3的B2,3（u）段和Bi,3的B3,3（u）段。将式(4.4.2)改写如下
下标的编号就显得很顺了。现在用式（4.4.1）来展开  ，可以得到
两端切矢
两端二阶导矢
上述结果可用图4.27表示。其中，曲线段Pi(u)的起点位于以  为邻边的平行四边形对角线的  处；起点切矢与  平行，模为其长度的  ；起点二阶导矢是以  为邻边的平行四边形的对角线。末点有相似的结果。B样条曲线的下一段  四个顶点产生，图4.27再次证明了  两段邻接曲线在端点位置、切矢和二阶导矢上都是严格连续的。从式(4.4.2)还可以推断，每一个控制顶点Vi只出现在四段相邻曲线段中，因此修改一个控制顶点Vi只影响到与Vi有关的四段曲线。推广到一般情况，就是第i条k次B样条在[ui,, ui +k+1]区间内共有k+1段曲线，其函数值都为正。在[ui,,
ui +k+1]区间之外，Bi,,k(u)的函数值都为零。这个性质称为局部支柱性质。k次B样条曲线在每两相邻节点间的曲线段有k+1个控制顶点参与计算，修改一个顶点影响k+1段曲线发生变化。B样条基是多项式样条空间具有最小支柱的一组基底，因此称作基本样条（Basic
spline），这就是B样条的得名由来。k次B样条的基底  都线性无关。在可以类比的条件下，其他k阶样条一定可以唯一表示成同阶B样条的线性组合。
图4.28是用三次B样条曲线画的动物图案[4]。从这些图例可以看到，三次B样条曲线离开控制多边形很近，这也是它胜过贝齐埃曲线的另一优点。将式(4.4.2)展开写成矩阵形式：
 （4.4.3）
与前面三次贝齐埃曲线的表达式(4.3.3)相比:
两者非常相似。这里B样条基函数系数矩阵的前几行相加也都为零，最后一行相加再除以6仍是1。这两种基函数之间难道存在某种紧密的内在联系？B样条基函数的推导过程是否与贝齐埃基函数有亲缘关系？
说来话长，B样条的发展经历了漫长的道路，它的理论基础要比贝齐埃方法更加深厚。1946年美国数学家舍恩伯格为了寻求无穷区间上等距节点数据的平滑过渡方法而引入了样条函数。接着他在1947年提出了B样条的一般理论，可惜这一研究成果被搁置到1966年才公开发表。很长一段时间里，舍恩伯格的样条理论并未引起人们的广泛重视，以至只有他本人以及他的少数学生在孤军奋战。后来随着生产实践的发展和电子计算机的大量应用，作为数值计算方法基本环节之一的函数插值和逼近获得了新的需求动力，研究工作才加速前进。人们逐渐认识到传统的高次多项式插值在计算中很不稳定，于是更多地趋向采用适用于高速计算机的分段低次插值方法，并且建立了相应的样条函数插值和逼近理论。参考文献[5]从数学家的角度详细介绍了舍恩伯格的开创性工作和B样条的由来及其理论基础。参考文献[7]以更浅显的文字面向工程应用，介绍了用截尾幂函数的差商定义B样条的方法以及克拉克（J. Clark）提出的根据分段多项式间的连续性约束求解B样条基函数的方法。1971至1972年间美国德布尔（C. de Boor）和英国考克斯（M.G. Cox）分别独立提出了B样条递推公式。由于它的计算简单，稳定性好，适用范围广，编程容易，因此得到了最广泛的应用。德布尔在1976年发表的有关B样条的综合性论文和1978年出版的“样条实用指南”一书有力地推动了B样条理论的发展。
de Boor-Cox导出的B样条递推定义算法如下：
（4.4.4）
规定 
递推算法的出发点是零次B样条基函数  ，见图4.29中最上面的两段水平线。用它来递推一次B样条基函数Bi,1, 这时ti=0,
ti+1,=1, ti+2=2,可得
 
在图4.29中，Bi,1表示为Bi,0和Bi+1，0两段水平线下的对角斜线。图4.30中只表示区间  内的有效B样条基函数。如果用一次B样条来拟合一组控制顶点V0，V1，……，结果生成一条折线V0V1……，
所以一次B样条等同于一次贝齐埃曲线。从一次B样条再递推一次，ti=0,
k=2
（4.4.5）
由于图4.30中只考虑区间  ，  对应于将上面推导的  第三段曲线平移到  区间，因此，式(4.4.5)中要代入t=t+2，于是得到  。类似地，将t=t+1代入上面式(4.4.5)
 的第二段曲线，得到  。因此，最终二次B样条曲线的矩阵表达式是
（4.4.6）
二次以上的B样条，我们就不再去推导了。这类工作最适合于让计算机来做，递推定义B样条的要点是两个相邻的k次B样条线性组合，构成k+1次B样条。B样条的次数越高，分段函数间的连续阶就越高，用它构造的曲线也就越光滑。同时它的局部支柱性相应减弱，k次B样条跨越的节点区间数为（k+1）。均匀B样条的图形左右对称，曲线的高度随幂次的提高而降低，但样条所包围的面积恒为1，所以它被称作规范B样条。这可以用数学式表达为
（4.4.7）
递推算法的程序实现需要较高的编程技巧，可以参阅德布尔的原著[8]。手工运算递推定义式(4.4.4)中需要注意的是，当构造一条完整的k次B样条，如图4.29所示时，各段曲
线的起始节点ti=0,而  的表达式要随着t的所在区间变化而相应变化。
de Boor-Cox递推定义建立在差商定义的基础上，既适用于等距节点，也适用于非等距节点。尤其重要的是，任意次B样条都由两个非负的量相加组成，因而舍入误差小，计算稳定、准确，克服了高阶差商数值计算及节点分布异常时计算不稳定的问题。另一方面，递推算法运算量小，因此计算速度快。基于这些理由，递推定义常被用作研究B样条的出发点。
de Boor-Cox递推定义还适用于节点相重的情况。节点每相重一次，B样条在重节点上的连续阶下降一次，而且使它所跨越的区间数减1，曲线所包围的面积也相应缩小。前
面图4.27说明，用  四个顶点拟合的三次均匀B样条曲线段并不通过Vi顶点，而是紧缩在Vi+1，Vi+2两个顶点下方。这对工程应用显得不够方便、直观。当有(n+1)个控制顶点时，如果将均匀分布的节点矢量改变为首末端节点四次相重，写作
这时得到的基函数将如图4.31所示。用这组三次B样条基函数拟合控制顶点
 得到的曲线首末点将通过V0和Vn，而且与控制多边形的首末边相切，类似于三次贝齐埃
曲线的情形。只是这里的控制顶点数可以任意多个而不像贝齐埃曲线中每次只能限于四个。对比图4.31与前面的图4.24三次伯恩斯坦基函数，可以发现两者的图形很相似。事实上大约在1976年前后人们已经发现了k次伯恩斯坦基函数就是同次B样条的一种退化特例，它的节点序列由（k+1）重0和（k+1）重1构成。三次伯恩斯坦基函数就是节点序列为[0，0，0，0，1，1，1，1]的三次非均匀B样条。对于首末节点为（k+1）重，中间节点均匀分布的B样条，我们称之为准均匀B样条。它兼有贝齐埃曲线和均匀B样条曲线的优点，因此在CAD中有着最广泛的应用。至于当初贝齐埃独立创造他的曲线曲面定义方法时，既未涉足函数逼近论中的伯恩斯坦基函数，又未钻研过B样条理论，最后结果却又如此巧合，这不能不归功于数学科学的博大精深，寓神奇于平凡。德国数学家法伦(G. Farin)在著作[9]中从解析几何的抛物线三切线定理出发来阐明k次贝齐埃曲线的构造过程。因4.32中从一条抛物线上顺序取三个不同点A，B，C,并作切线相交于D，E，F点，则有以下比例成立
令上述比值等于u: (1-u)，并将图4.32中的各点标识符改换成图4.33所示的控制顶点。视  为给定的原始控制顶点，则中间顶点
 就可由以下线性运算确定
上面的第一、二式定义了两条一次贝齐埃曲线。将第一、二式代入第三式得
它表示了由三顶点
 定义的一条二次贝齐埃曲线。第三式还表明，这条二次曲线可以定义为分别由前两顶点
 和后两顶点
 决定的两条一次贝齐埃曲线的线性组合。依此类推，前面图4.18中由四顶点  定义的三次贝齐埃曲线可被定义为分别由前后三顶点决定的两条二次贝齐埃曲线的线性组合：
这就用最简单、直观的几何化方法证明了前面给出的伯恩斯坦基函数递推式(4.3.7)
德卡斯特里奥对于贝齐埃曲线的递推定义作出了自己的贡献。这是CAGD发展史中寓神奇于平凡的又一范例。
参数多项式形式的贝齐埃曲线和B样条都不能精确表示圆和圆弧。如果将二次贝齐埃曲线的三个控制顶点作成等腰三角形，如图4.34所示，并且在每个控制顶点上各增加一个权因子  ，并且取
 ，相应将贝齐埃曲线写成有理表达式
 （4.4.8）
就可以准确表示一段圆弧。
将B样条扩展成有理形式，并且采用非均匀节点分割，就成为非均匀有理B样条，简称NURBS(non-uniform rational
B-spline)。一条k次NURBS曲线可以表示为分段有理多项式函数
（4.4.9）
式中  称为权因子，分别与控制顶点  相联系。权因子一般取为大于零的正数，以防止分母为零。对于非周期NURBS曲线，常将两端节点的重复度取为k+1，即  。在大多数实际应用里，端节点值分别取为0与1，即曲线的定义域为
 。特殊地，当n=k时，这k次NURBS
曲线就成为k次有理贝齐埃曲线。k次NURBS曲线的节点矢量中两端节点重复度取成k+1，就使曲线具有同次有理贝齐埃曲线的端点几何性质，即曲线通过控制多边形的首末顶点，而且在首末端点处分别与控制多边形的首末边相切。当所有权因子都为1时，式(4.4.8)的分母为1，NURBS曲线就简化为非有理多项式。
NURBS曲面是曲线的二维扩展
（4.4.10）
式中u向和w向的控制顶点数分别为(n+1)和(m+1)，u向是k次B样条，w向是l次B样条。鉴于NURBS有强大的造型功能，兼容了贝齐埃曲面和均匀B样条，也能精确表达圆柱、圆锥、球等规则解析曲面，所以当代CAD系统都采用NURBS作为自由曲线曲面的通用表达形式。目前国际上公认的IGES图形交换标准和STEP产品数据交换标准都用NURBS作为自由曲线曲面的标准形式。但是，事物总是一分为二的，技术的发展也永无止境，虽然NURBS当前在产品设计CAD领域内正处于这样一种一统天下的地位，这只是指从二次世界大战以来的几十年演变进程中，至今还没有找到一种比NURBS更简便灵活的数字化描述方法来表示人工产品的几何形状。NURBS的优点在于它的通用性好，但是由此带来的缺点是计算复杂度增大。作为非均匀有理B样条，首先，非均匀的节点分割就使B样条函数求值时，在每个节点区间内必须分别采用不同的基函数，都要用de Boor-Cox递推公式从零次B样条基出发递推求得当前的基函数值。如果参数曲面片的u向节点矢量和w向节点矢量不同，计算量又要增加一倍。所以，只要有可能，应该优先使用准均匀B样条格式。其次，作为有理函数，出现了分母项，使得求导、积分等运算变得复杂得多，而且参与运算的变量从原来的(x, y, z)三个增加到(Wx,
Wy, Wz, W)四个。这就需要借鉴齐次坐标的中心投影变换方法，将式(4.4.8)看作是一条四维空间的k次非有理B样条曲线
（4.4.11）
重复运用式(4.4.10)，分别计算Hi的四个分量，然后将第四维的计算结果Wi(u)去除前面三维  结果。这相当于取P(u)在第四坐标W=1超平面上的中心投影，就得到了原来在三维空间里定义的一条k次NURBS曲线P(u)。所以虽然NURBS可以利用权因子来统一表示规则二次曲面，但是为了提高算法的可靠性和计算效率，在曲面求交中，宁可区别对待一次和二次规则曲面。例如用代数方程Ax+By+Cz+D=0来表示平面，用x=rcost，和y=rsint来表示圆弧段，为此设计专门的简化计算方法，而不是片面追求产品模型的NURBS统一表达形式。最后，参数方程比起显函数z=f (x,y)和隐函数f (x,y,z)=0的表达形式来，同样要额外付出很多代价。当需要判断一个点是否落在曲面上时，对于显函数和隐函数，只要将点的(x,y,z)坐标值代入方程，就可以立刻判断等式是否成立。参数曲面P(u,w)则要区分(u,w)参数空间和(x,
y, z)几何空间，需要将给定的三维空间点投影到参数曲面上，比较判断投影点落在哪一节点区间域内，并且进一步迭代求解这一空间点所对应的(ui, wi)精确参数值，然后才能检测(x,y,z)点与P(ui,
wi)点的距离。这个过程很繁。此外，当用一组给定的型值点来拟合B样条曲面时，同样要将型值点的(x,
y, z)坐标值映射成参数平面上的对应（u, w）值。映射的方法不同，所拟合的曲面质量也有所不同。所以，人们至今还在研究更好的曲面数据点的参数化方法。
总之，CAGD中的曲线曲面造型技术至今还有大量问题有待研究改进，NURBS仅仅是当前公认的一种较为满意的解决方案，但决不是问题的终结。
4.5
曲面造型的应用技术
NURBS基函数的导出仅仅是产品几何形状设计的一个良好开端，虽然到达这一步已经经历了40多年的漫长岁月，但是要想用好NURBS曲面，后面的道路依然崎岖曲折。
首先要设计各种算法，从给定的一组轮廓线来生成光滑曲面。就像制造各种风筝，先用细竹条扎出框架，然后糊上薄纸。这在曲面造型中称作蒙面(skinning)。当前存在的一个突出问题是前面谈到的所有曲面片都是使用矩形节点网格，要求给定的数据点排成一个规则的矩形阵列。阵列的间距可以不均匀，如图4.35(a)所示，但是不能像图4.35(b)那样没有统一的分布规律。我们不妨回想一下前面弗格森曲面、孔斯曲面、贝齐埃曲面以及B样条曲面的生成过程，都是取一对u向和一对w向边界曲线，再让其中一条曲线沿另一对边界曲线扫动。在扫动过程中，这条曲线的端点位置和端点切矢不断变化，但是曲线的构形规律则保持不变，这样才能通过相同的混合函数或B样条基函数来表达这张扫成曲面。在式(4.4.9)中，如果不考虑权因子，写成一般形式的非均匀B样条曲面
（4.5.1）
可以看出，布置在矩形网格交点的控制顶点Vi, j的值都在变化，而B样条基函数Bi,
k 和Bj,l则沿每一行和每一列的网格数据点都是不变的。这种形式的曲面生成方法，数学上称作张量积曲面。我们知道，B样条基函数是从节点矢量推算得来，而节点矢量本身又是从曲面型值点的参数化过程得来。目前CAD系统中应用最多的是累加弦长参数化方法。这就是取每个型值点离其前一相邻点的距离累加起来。首点取0，末点取1，中间各点按比例递增。所以对于图4.35(b)一类的不规则分布型值点，前面所介绍的所有曲面造型方法严格地说都不再适用了。但是在工程应用中我们不能就此止步不前，总要采取一些工程性变通措施来适应生产实际中千变万化的特殊需要。设想要构造一个空心管道，进口截面是三角形，中间经过正方形截面的过渡，到了出口处成为五边形。为了在这类变截面框架上蒙面，我们首先要增加一些补充截面，通过某种过渡，使三角形逐渐变为四边形，再变为五边形。然后等分所有截面轮廓线，将等分点连成网格线。这时的网格虽然不是严格的矩形，但还比较整齐，从u,w方向各取一组折衷的网格分割点来计算节点矢量，并用式(4.4.11)产生插值曲面。如果补充截面的过渡形状设计合理，而且网格线的布局符合曲面的生成规律，得到的曲面可以有较好的外形品质。另一种变通措施是让曲面一条边界曲线的首末端控制顶点重合，使矩形曲面片的一条边界退化为零，成为三角曲面。但是退化边处的曲面法矢量不确定，同样要降低曲面的品质。所以，为了用好CAD商品软件的曲面造型功能，我们必须学习B样条的有关理论。理论概念越清楚，我们在工程应用中的灵活应变能力也就越强。人们提出问题，能不能另辟蹊径，用新的思路来获得更通用、更灵活的解决方案？就像纸糊灯笼，一盏灯笼的上口是三角形，中间四边形，底口五边形，如果纸张能像橡皮膜一样可以伸缩，问题岂不就此简化？美国MIT的戈萨教授(D. C. Gossard)从1988年起先后指导几名博士生开展了可变形曲面造型方法的研究，想让计算机来自动建立汽车车身内部板金结构件的复杂外形。他所采用的曲面模型是一张矩形弹性薄板，受力后可以伸展和弯曲，设想将这张薄板卷弯，包覆在灯笼壳外面，上、中、下三处施加外力，迫使薄板紧贴在灯笼骨架上。这样就将CAGD中的参数化几何描述方法与板壳受外载作用下产生弹性变形的力学原理相结合，自动确定曲线曲面的各种控制参数，使它满足给定的几何约束条件。在板壳的力学模型中引入了拉伸和弯曲变形的能量最小准则，使得变形曲面自动绷紧在灯笼壳上，产生光顺的流线外形。基于能量函数的板壳变形模型是由能量函数、几何约束和外部载荷构成的变分问题，利用有限元技术来求解。戈萨的第一位博士生塞尔尼克(G.Celniker)利用他的博士论文成果开发了一个变形曲面造型模块，寄生在ACIS几何造型平台上一起销售。戈萨本人也尝试组成一家小公司，请了几名年青学生共同开发一个功能更强的商品软件。后来这个小公司并入了实力更雄厚的CAD大公司。我国在国家自然科学基金资助下开展了类似研究，得到了初步的感性认识[10,11]。华中理工大学CAD中心与香港科技大学CAD/CAM中心合作，将变形曲面造型方法应用到三维服装裁剪和穿着效果仿真上[12]。由于衣料有不同的物理性能参数，服装穿在身上受到人体的支托和周围衣片的牵制，在重力和风力作用下要显示衣料的轻柔、挺括、皱折、飘摆等不同形态，所以必须使用力学模型与几何约束相结合的方法来求解。论文[12]中将曲面离散成小片三角形平面来逼近形体，简化了有限元计算过程，因此明显增强了曲面拟合复杂形体的灵活性。文献[7]的第十五章给出了用数学规划方法求解各种典型的几何约束条件下使B样条曲线曲面变形能量最小的造型方法，处理过程要比前面介绍的有限元法简单。图4.36和4.37表示用这种方法在给定的边界曲线上蒙面的应用实例。
当需要用少数曲面片去拟合一批分布不均匀的散乱数据点时，如果单纯使用最小二乘拟合方法，即求解某一曲面P(u, w)，使它偏离所有(n+1)个散乱点的距离平方和最小，亦即使下式
（4.5.2）
取最小值。式中  表示点Pi到曲面P(u,w)的距离。为了计算简单，通常可取
 （4.5.3）
式中(ui,wi)是每一测量点  在基准曲面  上的投影点所对应的参数值。因为这时待求的P(u, w)还未得到，只能取一近似的基准曲面来替代，对已知测量点  实现参数化。当给定的数据点在某些部位的分布过分稀疏时，求解式(4.5.2)极小值的数值计算将出现不稳定而使得到的曲面不充顺。如果在最小二乘拟合中再增加变
形能量最小的曲面光顺项，算法就具有良好的数值稳定性，而且在给定的误差范围内构造的逼近曲面具有较好的光顺性[13]。图4.38是用带光顺项的最小二乘拟合法构造的汽车后桥曲面。
图4.39表示三张曲面交汇处的三角曲面，在实际应用中还可遇到五边域、六边域等过渡区，统称N边域曲面。贝齐埃曲面有简洁的三角域曲面表达式，并且可以与邻接曲面片达到C′或C2连续[7]。也可以在N边域曲面的中心点人为增加一个型值点，连接中心点与N边域各边界线的中点，形成N个四边域。再用四边域曲面填满过渡区，并且保证相邻曲面拼接处光滑连接。构造N边域曲面的方法还有很多，用能量优化方法同样可以处理这类N边域问题，而且得到的效果很好。总体来看，可变形能量优化曲面至今还处于小规模的研究、试验阶段，还未产生功能较齐全，应用操作方便的成熟商品软件。
曲面的三角网格剖分是将原来连续的形体表面离散成小片平面三角形，使得零件的总体外形满足一定的逼近精度。当然，也可以采用矩形或其他正多边形网格剖分，但是三角形最简单，因此应用最广。它的最重要的应用领域是为产品进行强度计算或其他性能评测提供有限元分析的接口。产品的性能分析、校验统称为计算机辅助工程，简称CAE。图4.40表示平面任意域的三角剖分结果[14]。对网格剖分算法的要求是：生成的网格单元应尽量接近正三角形；网格的剖分密度应与应力的变化梯度相适应，即在应力变化平缓的区域可以用粗网格，而在应力集中区应用细网格，疏、密网格之间应均匀过渡；相邻单元的边界必须相容，不允许一个单元的边内包含另一单元的顶点，见图4.41。评判平面域三角剖分形态质量的标准是迪朗内(Delaunay)外接圆准则，即对剖分中的任一三角形构作外接圆，所有邻接三角形的第三个顶点必须落在这一外接圆之外。图4.42表示固定位置的四个顶点可有两种不同的三角形连线方法，图(a)产生四点共圆，而图(b)仅三点共圆。可以证明，图(b)的剖分质量一定优于图(a)，即图(b)中三角形的最小角比其他剖分方法更大。所以迪朗内准则又称最小角最大准则。这个准则使得所有三角形的最小角有最大的平均值。
给定一组离散点，要求将它们连成几何形态最好的三角网格，称作平面点集的迪朗内三角剖分。这是计算几何中的经典问题，已经有了明确的最优解，但是它只适用于点集的外边界为凸的情况。在工程实际中，零件不但有内凹的外形，而且还带有内孔。在地层石油储量勘探中，由于地质结构存在断层，这些断层必须作为三角剖分的既定边界，因此提出了带约束的数据点集迪朗内剖分问题，见图4.43[15]。
对于机械零件刘剑飞提出了一种围棋布子算法[16]。设想将围棋子按照预期的剖分密度作成不同大小，首先将棋子一个紧挨一个布满零件的内、外边界线，棋子的中心点就是边界线的分割点。棋子本身具有可塑性，它的直径可以在给定的精度范围内少量伸缩，所以用它一定可以布满边界线，不留空隙。然后从外边界向里，从内边界向外，按照品字形一层层铺设棋子，直至填满整个零件的平面空间。这样得出的三角网格基本上都是正三角形，而且算法的速度并不显得很慢。
图4.44是三维零件的四面体分割，每个单元由四个三角形围成棱锥体。这是刘剑飞1997年投向第6届国际网格剖分圆桌会议的论文稿实例。国外不少公司都很赞赏他的算例质量，提出了要开展合作的意向。图4.45是1999年第8届国际圆桌会议的获奖作品[17]。
三维剖分可以采用填球法，即用直径适宜的小钢珠灌进剖分对象的有效空间内，直至最大限度填实为止。相邻四个球的中心构成三棱锥的顶点。三维剖分的迪朗内准则是四面体的外接球内不得包含其他四面体的非邻接顶点。三维剖分中还需要防止四面体的四个顶点落在同一平面上，这时体单元退化为薄片，厚度为零，影响有限元计算的质量。
除了三角形和四面体分割外，还有四边形和六面体的剖分算法，难度更大。一种处理方法是先作三角剖分，然后两两合并相邻三角形，形成四边形。最后适当调整顶点位置，使各个四边形更加匀称。这里必然会出现无法合并的三角形，需要采取某些特殊措施来对付。
CAD产品几何建模的另一个最大的应用领域是向计算机辅助制造系统提供数据接口，用于编制工艺规程，简称CAPP(Computer Aided Process Planning)，以及自动生成数控加工的走刀轨迹和作出测量机检测的路径规划。前面图4.1和4.2表示两轴和四、五轴数控铣切的加工应用。图4.2中使用球头刀，铣刀的头部磨成半球形。计算走刀轨迹时，只要计算加工表面的法矢，沿法线方向偏移一个刀具半径，就是球头刀的球心所在位置。对于其他形状的铣刀，以及四、五轴加工中铣刀要沿一个或两个方向摆动等情况，刀心位置的计算方法需要专门设计。另外，要随时检查刀具是否与加工表面的其他部分发生干涉，啃伤零件，如图4.46所示。干涉算法的一种简单的处理方法是将铣刀和工件表面都离散成小片三角平面，以便快速计算两者间是否发生碰撞。
图4.47表示沿B样条曲面的等参数线加工工件，铣刀始终沿曲面的等参数线前进，这
时计算刀心位置最简单，只要在等参数线上每次递增一个Δu或Δw值，从  点计算  点的值。同时还要判断曲面的  点与Pi+1
之间用直线段逼近是否满足曲面的加工精度要求。如果不能满足精度要求，应将Δu或Δw值减半，再作测试。所以不论是数控绘图或者数控加工，看来十分精确� | 
